Om A är en m × n matris, så har ATA och AAT samma egenvärden som inte är noll … Därför är Ax en egenvektor till AAT som motsvarar egenvärdet λ. Ett analogt argument kan användas för att visa att varje egenvärde som inte är noll för AAT är ett egenvärde för ATA, vilket gör beviset komplett.
Är egenvärdena för AAT och ATA desamma?
Matriserna AAT och ATA har samma egenvärden som inte är noll. Avsnitt 6.5 visade att egenvektorerna för dessa symmetriska matriser är ortogonala.
Är ATA samma som AAT?
Eftersom AAT och ATA är riktigt symmetriska kan de diagonaliseras med ortogonala matriser. Det följer av föregående påstående (eftersom de geometriska och algebraiska multipliciteterna sammanfaller) att AAT och ATA har samma egenvärden.
Har ATA distinkta egenvärden?
Sant. Till exempel, om A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , så har den karakteristiska ekvationen det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 ingen upprepad rot. Därför är alla egenvärden för A distinkta och A är diagonaliserbara. 3.35 För vilken riktig matris A som helst är AtA alltid diagonaliserbar.
Kan olika egenvektorer ha samma egenvärde?
Två distinkta egenvektorer som motsvarar samma Eigenvärde är alltid linjärt beroende. Två distinkta egenvektorer som motsvarar samma egenvärde är alltid linjärt beroende.
