Sats 1 Varje Cauchy sekvens av reella tal konvergerar till en gräns.
Hur hittar du gränsen för en Cauchy-sekvens?
Bevisa: Gränsen för en Cauchy-sekvens an=limn→∞an.
Konvergerar varje Cauchy-sekvens?
Varje riktig Cauchy-sekvens är konvergent. Sats.
Har alla konvergerande sekvenser en gräns?
Därav är gränsen unik för alla konvergerande sekvenser. Notation Antag att {an}n∈N är konvergent. Sedan enligt sats 3.1 är gränsen unik och så vi kan skriva den som l, säg.
Kan en sekvens konvergera till två olika gränser?
det betyder att L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, och därför kan sekvensen inte ha två olika gränser. För detta ϵ, eftersom an konvergerar till L1, har vi att det finns ett index N1 så att |an −L1| N1. Samtidigt konvergerar an till L2, så det finns ett index N2 så att |an −L2| N2.
