När är en abelsk grupp cyklisk?

2024 Författare: Fiona Howard | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-10 06:43

Informellt är en grupp cyklisk om den genereras av ett enda element. Det är abelskt om multiplikation pendlar. En grupp är cyklisk om den kan genereras av ett enda element.

Är en abelsk grupp cyklisk?

Alla cykliska grupper är Abeliska, men en Abelisk grupp är inte nödvändigtvis cyklisk. Alla undergrupper av en Abelisk grupp är normala. I en Abelisk grupp är varje element i en konjugationsklass för sig och teckentabellen involverar styrkor av ett enda element som kallas en gruppgenerator.

Hur bevisar man att en abelisk grupp är cyklisk?

Proof

1. Låt G vara en cyklisk grupp med en generator g∈G. Vi har nämligen G=⟨g⟩ (varje element i G är någon potens av g.)
2. Låt a och b vara godtyckliga element i G. Då finns det n, m∈Z så att a=gn och b=gm.
3. Därav får vi ab=ba för godtyckligt a, b∈G. G är alltså en abelsk grupp.

Hur vet du om en grupp är cyklisk?

4 svar. En finit grupp är cyklisk om, och endast om, den har exakt en undergrupp av varje divisor i sin ordning. Så om du hittar två undergrupper av samma ordning, är gruppen inte cyklisk, och det kan hjälpa ibland.

Vad är cyklisk grupp förklara med ett exempel?

Till exempel (Z/6Z)^×={1, 5} , och eftersom 6 är två gånger ett udda primtal är en cyklisk grupp. … När (Z/nZ)^× är cyklisk, kallas dess generatorer primitiva rötter modulo n. För ett primtal p är gruppen (Z/pZ)^{× alltid cyklisk, bestående av element som inte är noll i det finita ordningsfältet p.}